Numeri primi e congetture, svolta verso la risoluzione

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Due studi resi pubblici negli ultimi giorni contribuiscono a vedere più vicina la risoluzione di alcuni dei più grandi interrogativi irrisolti della matematica: la “Congettura debole di Goldbach” e dei “Numeri primi gemelli”.

Per capire l’importanza di queste scoperte è necessario però ricordare le basi di queste teorie che da centinaia di anni arrovellano i matematici: i numeri primi sono, per definizione, quelli che si possono dividere solo per l’unità e per sé stessi (1,2,3,5,7,11,13, tra quelli all’inizio della lista infinita di numeri, che vengono ricordati più facilmente...).
Nel 1700, il matematico Christian Goldbach propose la sua congettura secondo cui – così come espressa nella riformulazione proposta da Eulero - ogni numero pari maggiore di 2 si può esprimere con la somma di due numeri primi. A questa teoria si lega la cosiddetta congettura debole - o problema dei tre primi - riferita ai numeri dispari maggiori di 5, esprimibili come la somma di tre numeri primi.  Un esempio? 7 (=2+2+3) o 91 (=7+41+43). Congetture che, in quanto tali, risultano vere senza il vantaggio però di una dimostrazione.
Ed ecco quindi il primo risultato che fa rumore, grazie allo studio di Harald Helfgott della École Normale Supérieure, pubblicato su arXiv. Già Terence Tao della UCLA si era avvicinato lo scorso anno alla dimostrazione della congettura debole, mostrando che i numeri dispari possono essere riscritti come somma di cinque primi al massimo. Helfgott è riuscito a raffinare questi risultati, abbassando la soglia fino a tre.
ll pre-print firmato da Helfgott però non è sufficiente, per il momento, a dimostrare che si possa applicare la sua scoperta a tutti i numeri (infiniti). 

Yitang Zhang, matematico dell’Università del New Hampshire, è l’autore, invece, della seconda impresa. I risultati del suo lavoro, apparsi su Nature, rappresentano la base di partenza per la risoluzione della congettura dei numeri primi gemelli, vale a dire quelle coppie di numeri primi separati da un solo numero pari (3 e 5; 11 e 13; ad esempio). L’interrogativo che nasce su questa particolare sequenza di numeri -  da cui la congettura, proposta per la prima volta da Euclide nel quarto secolo a.c – è se le coppie di numeri primi la cui distanza è solo due sia infinita o meno.
Zhang dimostra che si può stabilire un limite a questa distanza, per assicurarsi la serie infinita di numeri primi gemelli, sebbene di molto superiore al 2 della congettura originale: ci sono infinite coppie di numeri che distano tra loro per un valore inferiore a 70 milioni.
Questo può sembrare un dato enormemente distante dalla risoluzione del problema, ma per i matematici è un risultato eccezionale, perché dimostra che  la distanza tra i numeri primi non può quantomeno crescere in modo incontrollato e indefinibile; rappresenta, inoltre, un primo passo per poter raffinare il calcolo e abbassare questo limite, presumibilmente sempre più vicino al valore di 2.

Entrambi i risultati, sebbene non chiudano definitivamente le due questioni, suscitano grande interesse ed eccitazione nel campo della matematica per possibili nuovi e inattesi risultati che possono arrivare seguendo i percorsi tracciati da Helfghott e Zhang.

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