Considera i numeri primi

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I numeri primi sono sexy, hanno un grande fascino universale, a prima vista inesplicabile e sono fortemente sospettati di dare  dipendenza. Il motivo principale per cui creano questo interesse potrebbe anche essere semplicemente dovuto al fatto che, a differenza della quasi totalità dei tanti problemi matematici ancora irrisolti, i misteri ad essi legati possono in molti casi essere enunciati in termini comprensibili ai comuni mortali. Ma non c'è solo questo. Infatti anche alla maggior parte dei matematici i numeri primi appaiono come legati a qualcosa di intrinseco, non banalmente storico. Pensateci: molti concetti matematici sono costruiti sulla base di determinati presupposti culturali. Il calcolo differenziale, per esempio, potrebbe essere solo uno strumento provvisorio per formalizzare certe idee che abbiamo sulla misura di curve e superfici, e possiamo concepire che una civiltà avanzata non abbia sviluppato l'infinito cantoriano o il concetto di probabilità. Ma i numeri primi sono lì, davanti a noi, indipendenti da noi, apparentemente carichi di una più profonda e millenaria necessità. Nelle ultime settimane l'annuncio di risultati importanti su due problemi diversi che li riguardano, entrambi già proposti nell'ottavo problema di Hilbert, hanno attirato ancora una volta su di loro l'attenzione generale.

Ricordiamo in primo luogo che i numeri primi sono quei numeri naturali maggiori di uno, che possono essere divisi solo per uno e per se stessi [attenzione a non confondersi, uno non è primo e se ci pensate un attimo capite pure perché]. Il Teorema  fondamentale dell'aritmetica dice che ogni numero è scomponibile (si dice fattorizzabile) in modo unico come prodotto di numeri primi. I primi sono dunque connessi in modo naturale con le operazioni di moltiplicazione e divisione: in modo un po' curioso però, entrambi i due risultati dimostrati recentemente riguardano proprietà dei numeri primi legati all'addizione.

Uno dei primi teoremi sui numeri primi, dimostrato da Euclide oltre 2000 anni fa, afferma che essi sono infiniti. Essendo infiniti, possiamo chiederci allora se c'è una regola che ci dica come trovarli. Ad esempio, dato un numero, vorremmo sapere se è primo oppure no, o ancora, dato un numero primo vorremmo sapere dove si trova il successivo. Questi problemi potrebbero sembrare banali e del tutto irrilevanti, ma in realtà è vero proprio il contrario. Non sono irrilevanti da un punto di vista matematico, la loro soluzione appare difficile e legata a concetti matematici profondi. Dal punto di vista pratico, dal 1977 sappiamo che la fattorizzazione dei numeri primi è alla base dell'algoritmo RSA di crittografia a chiave aperta, utilizzato per rendere sicure operazioni come la trasmissione delle e-mail, le comunicazioni via telefono cellulare, o le trasmissioni televisive satellitari. E i problemi non sono nemmeno banali. Certo, dato un numero qualsiasi, per sapere se è primo basta dividerlo per tutti i numeri prima di lui e, se la divisione non è mai esatta, allora è primo (in realtà basta dividerlo per i numeri primi inferiori o uguali allla sua radice quadrata). Ma non è così facile come sembra, e per numeri molto grossi può richiedere un tempo enorme. Per capirci, nel 2009 una rete di supercomputer ha fattorizzato un numero di 232 cifre decimali (che era il prodotto di due numeri primi), impegando un tempo equivalente a 2000 anni di calcolo su di un processore single-core 2.2 GHz AMD Opteron. Insomma, non proprio una breve passeggiata.

I matematici hanno lavorato molto su questi problemi, ottenendo anche risultati importanti, come il famoso Teorema dei numeri primi, dimostrato indipendentemente nel 1896 da Hadamard e de la Vallée Poussin, che ci permette di conoscere in modo approssimato la distribuzione dei numeri primi e di stabilire, per esempio, che tra l'n-esimo numero primo e il successivo c'è una distanza media pari a log(n) (ossia il logaritmo naturale del numero n). Il log(n) è una quantità sempre crescente e illimitata, per cui, proseguendo a contare i numeri primi, scopriremo che la distanza tra un numero primo e il successivo crescerà indefinitamente. Ma questo, secondo il teorema, avviene solo in media. Infatti ogni tanto ci sono due numeri primi che compaiono consecutivamente e per questo si chiamano "numeri primi gemelli", come 5 e 7, o 11 e 13, o 881 e 883. (E forse a questo punto non potrete fare a meno di di sapere che la coppia più grande di primi gemelli che si conosca è stata trovata nel 2011 ed è data da 3.756.801.695.685 × 2666.669± 1). Da tempo è stato congetturato che di tali coppie ne esista un numero infinito. Anzi, nel 1849 Alfonse de Polignac si spinse fino a congetturare una proprietà additiva generale dei numeri primi, ossia che, per ogni numero k, esistono infinite coppie di numeri primi p e q tali che p=q+2k (il caso dei primi gemelli è quello per k=1). Nessuno ha ancora mai dimostrato niente del genere, ma nel 1940 Erdős dimostrò che esiste una costante C < 1 e infiniti numeri primi p tali che, se q è il numero primo successivo a p, allora q< p+C log(p). Nel 2005, Goldston, Pintz e Yıldırım hanno fatto vedere che questa costante può essere presa arbitrariamente piccola. 

Poi, poche settimana fa, la svolta. Per prima cosa osserviamo che la congettura dei primi gemelli si può riformulare dicendo che ci sono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è minore di 3. Ora, in un lavoro dal titolo Bounded gaps between primes in corso di pubblicazione su Annals of Mathematics, una delle più prestigiose riviste di matematica al mondo, il matematico di origine cinese Yitang Zhang, della New Hampshire University, ha dimostrato che "esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è minore di 70 milioni". Sì avete letto bene, c'è scritto proprio 70 milioni. Potrebbe sembrare una grossa differenza, ma come è stato osservato da molti commentatori, siamo passati da un limite costantemente crescente, come era quello trovato da Erdős e dai suoi successori, a un numero fissato una volta per tutte. Visto così è invece proprio un bel salto. Molti matematici stiano lavorando su questo risultato, e anzi hanno già portato il limite da 70 milioni a 59.470.640 (si può vedere qui, non è un grande miglioramente, ma chissà che la costante non sia stata ancora migliorata mentre state leggendo!). Ma ci sono altre due cose curiose su questo risultato. La prima è che Yitang Zhang non era un matematico famoso prima d''ora e non è nemmeno giovanissimo. Per molti anni ha faticato a trovare un posto nell'università, lavorando per molto tempo come contabile di un negozio di sandwich della catena Subway. La seconda è che per trovare questo risultato non ha dovuto inventare nuove tecniche matematiche, ma combinare e sviluppare con cura, in un modo che era sfuggito a tanti esperti del settore, varie idee precedenti, in particolare quelle contenute nel lavoro di Goldston, Pintz e Yıldırım, che era a sua volta basato sul teorema di Bombieri e Vinogradov degli anni Sessanta. È chiaro che il prossimo passo sarà capire come le idee sviluppate da Zhang possano portare ad una migliore comprensione degli intervalli che separano i numeri primi, ma per ora nessuno vuole sbilanciarsi in questa direzione.

Il secondo risultato recente riguarda un'altra famosa proprietà additiva dei numeri primi. Il 13 maggio scorso, il matematico di origine peruviana Harald Helfgott, ricercatore del CNRS presso l'ENS di Parigi, ha depositato l'articolo Major arcs for Goldbach's theorem sul preprint server arXiv, in cui annuncia di aver dimostrato la Congettura di Goldbach Ternaria (o debole), ossia

(CGT) ogni numero dispari strettamente più grande di 5 è uguale alla somma di tre numeri primi.

Per esempio 7=3+2+2, 9=3+3+3, 11=5+3+3. Questa congettura nasce da una lettera del 7 giugno 1742 del matematico Christian Goldbach a Eulero, dove congetturava che ogni numero superiore a 2 potesse scriversi come somma di al più 3 numeri primi. Eulero rispose che era sufficiente far vedere che 

 (CG) ogni numero pari maggiore o uguale a 4 si può scrivere come la somma di due numeri primi,

perché in seguito, tutti i numeri dispari superiori o uguali a 7 possono scriversi come un numero pari più 3, implicando quindi la congettura ternaria. L'enunciato (CG) è quello che viene oggi chiamato da tutti congettura di Goldbach (o congettura di Goldbach forte). Entrambi gli enunciati, forti o deboli che siano, sono abbastanza sorprendenti. Come si è detto, i numeri primi nascono naturalmente associati alla moltiplicazione, e non c'è nessuna ragione evidente perché giochino anche un ruolo così importante rispetto all'addizione. In particolare la congettura di Goldbach (forte) è equivalente al fatto che un qualsiasi numero sia la media aritmetica di due numeri primi, una cosa molto suggestiva -- i numeri primi che generano in modo semplice tutti gli altri -- ma per nulla evidente. Il risultato di Helfgott è indubbiamente destinato a rimanere nella storia, ma il suo impatto matematico è probabilmente minore rispetto a quello del suo collega Zhang, anche perché arriva alla fine di una storia lunga, già piena di contributi matematici geniali, e con una notevola risonanza popolare (se ne parla per esempio nel romanzo del 1992 di Apostolos Doxiadis, Lo zio Petros e la congettura di Goldbach). Dei molti matematici che si sono cimentati con questo problema, il risultato più importante è sicuramente quello ottenuto dal russo Ivan Matveevič Vinogradov, che  nel 1937 aveva dimostrato la congettura ternaria per tutti i numeri dispari maggiori di una certa costante C. Nonostante il valore di questa costante sia stato abbassato nel corso degli anni, è sempre rimasto al di fuori della portata anche del più potente calcolatore (la stima migliore conosciuta è C=101346, e non basterebbe l'intera età dell'Universo per controllare i numeri rimanenti, nemmeno con il più potente computer immaginabile). In seguito ci sono stati svariati miglioramenti e lo scorso anno Terence Tao, uno dei maggiori matematici viventi, medaglia Fields nel 2006, aveva dimostrato che ogni numero dispari maggiore di uno è la somma al più di 5 numeri primi. Per dimostrare il suo risultato, Helfgott ha ripreso e migliorato le idee proposte negli anni Venti da Hardy e Littlewood e successivamente sviluppate da Vinogradov e da tanti altri, Tao compreso, intorno al cosiddetto metodo del cerchio. In pratica il problema di teoria dei numeri viene tradotto in un problema che riguarda la valutazione di integrali lungo il cerchio di raggio uno, facendo vedere che se un certo integrale che dipende dal numero considerato è strettamente positivo, allora quel numero ha un rappresentazione come somma di tre numeri primi. Questa tecnica funziona con stime asintotiche e in genere non vale per tutti i numeri ma solo per valori grandi. Oppure, come nel caso del risultato precedente di Tao, si dimostrano risultati più deboli. Nonostante il fatto che il metodo sembrasse aver esaurito le sue potenzialità, Helfgott è stato capace di dimostrare la congettura di Goldbach ternaria per tutti i numeri dispari più grandi di 1030, controllando poi, in collaborazione con David Platt dell'Università di Bristol e l'ausilio di un supercomputer, che fosse vera per tutti i numeri inferiori, e più generalemente per tutti i numeri minori di 8,875x1030 (e qui Helfgott ha tirato un sospiro di sollievo. Pare che fino all'ultimo non fosse sicuro del limite teorico della sua dimostrazione. Se avesse trovato un risultato positivo per i numeri maggiori di 10100, per esempio, nessun computer al mondo avrebbe potuto aiutarlo. E nonostante questo, ha dovuto migliorare i calcoli precedenti che si fermavano a 1018). L'articolo non è ancora stato accettato ufficialmente da una rivista, ma tutti i maggiori esperti sono abbastanza sicuri che la dimostrazione sia corretta. Non sembra però che sia possibile, con questa tecnica, dimostrare la congettura di Goldbach forte, quella sui numeri pari, o almeno questo è ciò che scrive sempre Terence Tao in un post su google+.

In conclusione qualche osservazione.

a) Non sono sempre le persone più conosciute ad ottenere i grandi risultati matematici. Può capitare che un outsider o un giovane ricercatore riescano dove tanti matematici di assoluto valore hanno fallito. Per dire che non bisognerebbe mai arrendersi e dare tutto per scontato.

b) I problemi di teoria dei numeri si enunciano in modo elementare e non sembrano aver bisogno di grandi conoscenze matematiche per essere capiti. Ma il metodo per risolverli poggia profondamente su tutto il patrimonio di cultura matematica degli ultimi trecento anni, e in modo abbastanza sorpendente sull'analisi matematica. Insomma, Euclide, e forse anche Goldbach, non avrebbe capito nulla di queste dimostrazioni (Eulero ovviamente sì).

c) Si è molto discusso in passato, ad esempio a proposito del teorema dei quattro colori, sulla legittimità di dimostrare una parte di un teorema al computer. Probabilmente Helfgott e Tao nemmeno si pongono il problema e lo danno per scontato, e a me sembra ragionevole, ma è un grande cambiamento nel punto di vista.

d) Abbiamo detto che sui numeri primi si fa ricerca anche per le possibili applicazioni pratiche in criptografia. Sarà, ma non credo sia stata questa la motivazione principale per nessuno dei matematici che ha lavorato su questi problemi. A me sembra, e sto per dire una banalità, che questi risultati, per quanto tecnici, per quanto in parte incomprensibili (prima abbiamo parlato di un numero come 1030 come se fosse una cifra ragionevole e immaginabile, ma vorrei ricordare che la stima attuale per i secondi passati dall'inizio dell'intero universo è 4x1017, insomma, rendiamoci conto), siano in primo luogo solo, e semplicemente, belli. 

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