L'economia matematica: passato e presente

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All'Angelus di inizio anno 2010 Benedetto XVI affermava che «Il futuro è nelle mani di Dio, non di maghi e economisti». In effetti l'attuale crisi ha riacceso il dibattito sul valore dell’analisi economica e della sua capacità di spiegare e prevedere. L’economia è davvero una scienza? Come può una scienza non prevedere e non accorgersi di quello che sta succedendo? La sua crescente formalizzazione ha orientato il dibattito, in particolare, sull’utilità dei modelli matematici per descrivere i sistemi economici e la loro evoluzione.

Si tratta in realtà di domande ricorrenti, alimentate periodicamente da qualche particolare difficoltà del sistema economico e dalle sempre presenti polemiche tra le diverse “scuole”. Così anche in questa occasione qualcuno ha detto che, inseguendo i formalismi matematici, gli economisti perdono di vista l’Economia. Altri hanno sostenuto che il problema sta negli specifici formalismi adottati, che quelli usati sono superati, legati ad una Matematica “vecchia”, magari mutuata in modo acritico da altre discipline. La speranza è allora che la crisi economica comporti un cambio di paradigma anche nella modellizzazione matematica.

Il recente numero monografico di Lettera Matematica Pristem, curato da Gian Italo Bischi e Angelo Guerraggio, cerca di ripercorrere le principali tappe della progressiva formalizzazione delle leggi dell'economia attraverso una rivisitazione della storia, delle idee e dei personaggi dell’Economia matematica del Novecento, con un occhio sempre puntato verso il futuro.

Proprio all'inizio del Novecento la speranza che quei metodi che si erano rivelati così fecondi nello studio della Fisica potessero essere utilmente applicati anche nello studio dell'Economia veniva espresso dal grande fisico-matematico italiano Vito Volterra, che nel discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 all’Università di Roma affermava che

«è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi».

La narrazione proposta nel fascicolo di Lettera Matematica parte in realtà da qualche decennio prima, con le opere di fine ottocento di Jevons in Gran Bretagna, C. Menger in Austria, Walras in Francia, nelle cui opere c’è un nuovo ruolo svolto dalla Matematica, non più semplice strumento per il calcolo algebrico ma elemento costitutivo e parte integrante dell’analisi economica, e che segna la trasmigrazione dell’Economia dal novero delle scienze morali a quello delle discipline scientifiche. Una spinta ancor più decisiva in tale direzione sarà poi data da Vilfredo Pareto, che dopo aver studiato Matematica a Torino succede a Walras sulla cattedra di Losanna. Il modello seguito è la Fisica, in particolare la Meccanica, con le sue forze e i principi di massimo e di minimo che determinano i movimenti e gli equilibri. Pareto procede a partire da pochi assiomi iniziali, incontrovertibili nella loro evidenza, che sviluppa poi con un rigoroso ragionamento deduttivo.

C'è da notare che questa impostazione dell'economia ha costituito a sua volta un fattore decisivo per la definitiva affermazione in matematica dei sistemi formali, in quanto per la prima volta il metodo assiomatico-deduttivo veniva applicato al di fuori dei tradizionali contesti della geometria o della fisica.

Ma l'impresa non è facile, come amava stigmatizzare il grande economista John Maynard Keynes quando sottolineava che non bastava semplicemente adattare i metodi e i ragionamenti della fisica alla modellizzazione dell’economia perché:

«[…] l’economia è una scienza morale […] essa ha a che vedere con motivazioni, aspettative, incertezze psicologiche. Si deve essere costantemente attenti a non trattare questo materiale come se fosse costante ed omogeneo. È come se la caduta della mela al suolo dipendesse dalle aspirazioni della mela, se per lei sia conveniente o meno cadere a terra, se il suolo vuole che essa cada, e se vi sono stati errori di calcolo da parte della mela sulla sua reale distanza dal centro del pianeta» [1]

Ci vogliono allora nuovi metodi matematici in grado di descrivere l'interazione strategica fra soggetti umani, razionali e capaci di fare previsioni. Come i metodi della teoria dei giochi, il cui testo fondante di John Von Neumann e Oskar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior viene pubblicato nel 1944.

Ma la narrazione non si ferma lì, come ogni prudente ricostruzione storica dovrebbe fare, e nell’ultima parte della rivista vengono presentate alcune ricerche in pieno sviluppo. Scrive uno degli autori – Carl Chiarella – che:

«ogni crisi ha finora determinato un cambiamento di paradigma, ma è ancora troppo presto per dire se l'attuale crisi finanziaria e economica avrà lo stesso profondo impatto».

Comunque, come ci fa notare lo stesso Chiarella, certamente viviamo tempi interessanti”.

E i segnali di nuovi paradigmi non mancano. Per esempio i metodi e i risultati della teoria dei sistemi dinamici non lineari, in particolare quelli legati al cosiddetto caos deterministico, hanno avuto un forte impatto sulla modellistica matematica in Economia, soprattutto in connessione con l’esigenza di prevedere e controllare l’evoluzione temporale dei sistemi economici e sociali.

La scoperta che anche modelli dinamici molto semplici sono in grado di generare caos deterministico, unitamente alla constatazione che modelli di questo genere possono essere ottenuti con ipotesi del tutto standard di equilibrio economico (con competizione perfetta, informazione completa e aspettative razionali), ha scosso le basi di molte delle idee alle quali si erano abituati gli economisti, in quanto ha spezzato il legame fra determinismo e prevedibilità, creando nel contempo una imbarazzante antinomia fra dinamiche caotiche e aspettative razionali.

Inoltre, sebbene vi sia il più largo consenso nell’affermare che i sistemi sociali sono più complessi di quelli fisici, i metodi della teoria della complessità e della fisica statistica, unitamente alle idee con cui l’evoluzionismo moderno guarda ai sistemi, stanno diventando sempre più importanti in ambito socioeconomico, così come l’approccio dei cosiddetti reticoli complessi (complex networks). Mediante questi strumenti matematici si possono infatti rappresentare fenomeni emergenti, come la comparsa di nuove forme e strutture sociali, senza che i singoli costituenti del sistema ne abbiano la consapevolezza.

[1] Questi passaggi sono riportati nel vol. XIV dei Collected Writings of John Maynard Keynes, a cura di D.E. Moggridge, Macmillan e Cambridge University Press, 1973, pp. 296-300.

Commenti

ritratto di agrimensore

Bisogna distinguere tra economia reale e finanza. L'economia può essere analizzata con metodi canonici di scuole differenti applicando i conseguenti modelli matematici, senza però dimenticare che lo scenario economico futuro viene determinato dagli stessi operatori (Stati, multinazionali, banche, risparmiatori, produttori, consumatori) in rapporto dialettico quando non conflittuale tra loro. La finanza invece si presenta sempre più staccata dall'economia reale: vedo poche differenze sostanziali tra un derivato a leva (su valute, merci, azioni, ecc.) e una scommessa ippica o una schedina del lotto; purtroppo la finanza in temini di volumi di scambio ha talmente sopravanzato gli scambi economici reali che vicende finanziarie localizzate (es. sub-prime USA) possono dissestare l'intero assetto economico mondiale. Riguardo l'affermazione di Sua Santità Benedetto XVI mi sembra perfettamente condivisibile per un credente, del resto già gli antichi greci dicevano che il futuro siede sulle ginocchia di Zeus, aggiungo poi che per un cattolico l'immanenza di Dio nelle vicende umane si esplica anche con la provvidenza e con la misericordia. Applicare la matematica sic et simpliciter all'economia e alla finanza? Analogamente alla meteorologia direi: ottima per consuntivi, buona per previsioni di brevissimo termine (24-48 h), progressivamente aleatoria in base alla estensione dello scenario temporale di previsione.

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Canaletto e Bellotto: pittori o geometri?

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Canaletto, Campo Santi Giovanni e Paolo, 1738 circa.

Dovendo scegliere tra un pittore e un topografo, a chi affidereste il compito di rappresentare realisticamente ed efficacemente un determinato paesaggio, urbano o rurale? Ipotizziamo che decidiate di affidare il lavoro a un artista con cui pattuite l’esecuzione di un dipinto a olio su tela. E se l’artista che avete incaricato facesse uso di mezzi tecnici, ad esempio di apparecchiature ottiche, in un certo senso invadendo il campo e appropriandosi dei trucchi del mestiere e delle competenze della concorrenza? Denuncereste la violazione del patto - non scritto - che ha stipulato con voi e lo giudichereste un artista che bara o addirittura un artista dimezzato?

È questo il dubbio che devono essersi posti, già nella prima metà del Settecento, Antonio Canal, detto Canaletto e suo nipote Bernardo Bellotto (pure lui per un certo periodo noto come Canaletto, diciamo per mere ragioni di marketing). I due, infatti, il primo essendo maestro del secondo, fecero ampio e documentato uso di un’apparecchiatura ottica nota come camera obscura senza peraltro mai molto sbandierare questo loro “segreto industriale”: la utilizzarono costantemente come sussidio per tracciare con sicurezza le linee portanti dei volumi dei loro dipinti e le sagome dei monumenti e degli edifici che hanno rappresentato negli affascinanti dipinti a olio presenti in musei, gallerie e collezioni di enti e di privati in tutto il mondo. Sono stati, Canaletto e Bellotto, tra i primi e certamente i più noti esponenti del cosiddetto vedutismo, genere pittorico nato a Venezia nel primo Settecento. Molti loro schizzi (“scaraboti”) e disegni preparatori, a matita e penna su carta, sono arrivati fino a noi e sono conservati, raccolti in quaderni, in vari musei, tra cui le Gallerie dell’Accademia a Venezia.

La camera oscura portatile in legno appartenuta secondo alcuni studiosi a Canaletto. Si può vederla all'ingresso della mostra “Bellotto e Canaletto. Lo stupore e la luce”, alle Gallerie d’Italia in Piazza della Scala a Milano.

Come porsi, dunque, di fronte alla legittimità e opportunità dell’uso intensivo della camera obscura da parte di quei pittori? Si tratta semplicemente di un utile strumento ausiliario o è invece una criticabile pratica tecnica che, se applicata in modo pedissequo nella realizzazione dei dipinti, minaccia di ostacolare e compromettere la creazione artistica, esponendo così il pittore al rischio di vedersi relegato nell’angusto e sgradito ruolo esecutivo di “geometra dell’ufficio tecnico”?

Per rispondere a questa domanda, serve forse chiedersi perché  alcuni pittori, soprattutto settecenteschi, abbiano sentito l’esigenza di utilizzare la camera obscura, o camera ottica. La risposta molto probabilmente va cercata nel clima culturale dell’epoca di cui stiamo parlando: con l’Illuminismo, infatti, si impone un nuovo sguardo sulla realtà, più oggettivo, più scientifico e l’esattezza della rappresentazione pittorica del paesaggio è solo uno dei campi in cui questa nuova visione del mondo si manifesta.

Questa tematica complessa, di cui cercheremo di fornire qualche utile elemento di conoscenza e di riflessione, colpisce immediatamente il visitatore della bella mostra “Bellotto e Canaletto. Lo stupore e la luce”, alle Gallerie d’Italia in Piazza della Scala a Milano. Nelle quasi cento opere in mostra si possono ammirare le precise rappresentazioni (quanto precise effettivamente siano, tra poco lo scopriremo) di palazzi e canali, campi (nel senso veneziano della parola) e piazze di città del centro Europa, campagne e scorci di ruderi dell’antichità talmente dettagliate da sembrare fotografie, il tutto sempre sapientemente illuminato da luci oblique e radenti, perfettamente adatte a scolpire la tridimensionalità degli edifici. Per meglio comprendere il senso di queste immagini si rende necessario, però, un salto indietro nella storia della scienza e della tecnica.

La conquista della prospettiva

Nel corso degli ultimi tre millenni, non sono mancati studi teorici e sperimentazioni pratiche per cercare di risolvere un problema, sia concettuale, sia concreto: quello della rappresentazione della realtà tridimensionale su una superficie piana, bidimensionale. Problema che stava a cuore a due categorie apparentemente assai distanti tra loro di esseri umani: i matematici e i pittori, vale a dire, in un senso più ampio, gli scienziati e gli artisti.

Precisiamo, per quanto possa sembrare a questo punto scontato, che stiamo parlando di “prospettiva” e di “geometria proiettiva”. Nelle prime testimonianze visive arrivate fino a noi, quelle raffiguranti scene di caccia rinvenute nei dipinti rupestri delle grotte paleolitiche, i nostri antenati non sembrano essere stati sfiorati dal desiderio di suggerire un senso di profondità alle loro immagini. Occorre quindi fare un balzo temporale in avanti di parecchi millenni per vedere qualche tentativo di rappresentazione prospettica del reale: in qualche disegno di epoca egizia, duemila anni prima di Cristo, appaiono molto timidamente i concetti della similitudine e della prospettiva, con edifici rappresentati in pianta e alzato, per quanto, a dire il vero, la maggior parte delle immagini egizie giunte fino a noi raffigurino piuttosto una realtà prevalentemente bidimensionale (di profilo). Nemmeno l’epoca della cultura Assiro Babilonese sembra sentire l’urgenza di descrivere un mondo a tre dimensioni e, ad esempio, i bassorilievi di leoni e altri animali presenti sulle pareti della Porta di Ishtar (sec. VI a.C.), conservata al Pergamon Museum di Berlino, ci appaiono nella loro fissità, isolate e di profilo su uno sfondo uniforme, privo di profondità. In estremo oriente la prospettiva, almeno a livello di studi teorici, sembra far capolino solamente in un trattato cinese per la determinazione delle ombre del IV secolo a.C., ma risalente secondo alcuni storici addirittura al 1100 a.C.

Ma è solo con i grandi matematici greci che inizia uno studio rigoroso delle regole di rappresentazione geometrica dello spazio. Spicca tra tutti il nome di Euclide, vissuto ad Alessandria (allora una colonia greca) a cavallo tra quarto e terzo secolo a.C., noto per la sua imponente opera Elementi grazie alla quale è passato alla storia della matematica.  Nell’Ottica, suo meno noto trattato, Euclide pone invece le fondamenta della geometria descrittiva, chiamata poi, a partire dal diciannovesimo secolo, “geometria proiettiva”.

Proseguendo nella nostra carrellata storica, la civiltà romana sembra da un lato orientata alla sperimentazione pittorica, dall’altro lato alla teorizzazione. Sul versante pratico, attraverso dipinti e mosaici (ad esempio nel mosaico pompeiano di Alessandro alla battaglia di Isso), si assiste alla rappresentazione della tridimensionalità, pur essendo chiaro che non era ancora maturata una consapevolezza precisa delle regole della convergenza verso un unico punto. Dall’altro lato, quello più teorico, attraverso gli scritti di Vitruvio (architetto e scrittore del primo secolo a.C.) si approfondiscono i problemi legati alla scenografia e alla rappresentazione degli edifici.

Il più antico disegno pubblicato noto di una camera oscura si trova nel trattato "De Radio Astronomica et Geometrica" (1545) del medico, matematico e costruttore di strumenti olandese Gemma Frisius (nato Jemme Reinerszoon), in cui l'autore descrive ed illustra come ha usato la camera oscura per studiare l'eclissi solare del 24 gennaio 1544.

Prima di arrivare al Rinascimento italiano, nel XIV secolo, durante il quale architetti/pittori/matematici, da Filippo Brunelleschi a Leon Battista Alberti e da Piero della Francesca fino a Leonardo da Vinci, applicando rigorosi metodi matematici hanno definito in maniera fino ad allora sconosciuta le regole della prospettiva, è necessario menzionare altri studiosi medievali che li hanno preceduti. Tra questi vale la pena ricordare in particolar modo lo scienziato/filosofo arabo Al-Kindi (IX secolo) e soprattutto  il matematico, fisico, medico e filosofo Alhazen (XI secolo), nato a Bassora ma trasferitosi presto al Cairo. A quest’ultimo, autore del trattato in sette volumi sull’Ottica Kitab al-Manazir, tradotto in latino da Gherardo da Cremona nella seconda metà del XII secolo, sono attribuite le prime osservazioni relative al passaggio dei raggi di luce attraverso un foro e al loro viaggiare in linea retta senza mai confondersi, generando su una superficie, posta al di là del piano contenente il foro, immagini rovesciate direttamente corrispondenti alle forme degli oggetti dai quali la luce proviene.

Bellissime scientifiche finzioni

Si tratta esattamente della descrizione del principio della camera obscura (o camera oscura, detta anche camera ottica) strumento che finalmente ci porta a parlare del lavoro di Bellotto e Canaletto, noti soprattutto per le vedute di Venezia, ma attivi anche in altre città d’Italia e d’Europa visitate durante viaggi di lavoro o in alcuni casi diventate luogo di residenza (Roma, Firenze, Verona, la Lombardia, Londra, Dresda, Vienna, Monaco di Baviera, Varsavia). All’ingresso della mostra delle Gallerie d’Italia di Milano (visitabile fino al 5 marzo), il primo oggetto che ci accoglie, racchiuso entro una teca trasparente, è proprio una camera oscura portatile in legno appartenuta forse (ma secondo alcuni studiosi probabilmente no) a Canaletto. Il primo quadro della mostra, una tela di Canaletto, è il Campo Santi Giovanni e Paolo (circa 1738), di cui sono arrivati a noi anche gli schizzi preparatori (visibili in mostra su un monitor), fatti certamente con l’ausilio di una camera obscura.

Schizzi preparatori per la tela Campo Santi Giovanni e Paolo (circa 1738) di Canaletto.

Quello che colpisce a prima vista nel quadro è una precisione e un apparente realismo “di qualità fotografica”, ma un confronto diretto con quell’angolo di Venezia, tutt’oggi conservato quasi esattamente come all’epoca del dipinto, permette di scoprire che l’artista ha, sì, operato partendo da una ricognizione fatta per mezzo della camera ottica, ma ha anche arbitrariamente spostato il suo punto di osservazione tra uno schizzo e l’altro, tra una seduta di disegno e l’altra. Così facendo, ma ricomponendo con maestria più “riprese” fatte da punti di osservazione distinti, come dimostrato nel 1959 dallo storico dell’arte e massimo studioso della prospettiva Decio Gioseffi, Canaletto crea l’illusione di un punto di vista unico, più lontano, ma oggettivamente impossibile da realizzare nella pratica per la presenza di edifici al di qua del canale, il Rio dei Mendicanti, che si trova in primo piano nel quadro. Nelle parole della curatrice della mostra, Bożena Anna Kowalczyk: “un’immagine altamente sofisticata, irreale nelle proporzioni dei monumenti e nelle distanze, ma di grande bellezza.”

E qui torniamo alla domanda con cui abbiamo aperto l’articolo: per rappresentare la realtà del mondo preferiamo un pittore o un topografo, un artista o un geometra? La risposta, visti i risultati e soprattutto considerati i procedimenti e le strumentazioni utilizzate, sembra essere meno netta del previsto. Svelato il mistero dell’utilizzo “creativo” di uno strumento di conoscenza oggettiva come la camera ottica opteremmo per un tipo particolare di artista, come appunto Bellotto e Canaletto, che abbia fatta sua un’impostazione come quella qui ben descritta:

“Quelli che s’innamorano della pratica senza la scienza, sono come i nocchieri che entrano in naviglio senza timone o bussola, che mai hanno certezza dove si vadano. Sempre la pratica dev’essere edificata sopra la buona teorica, della quale la prospettiva è guida e porta, e senza questa nulla si fa bene” . Leonardo da Vinci – Trattato della Pittura, parte seconda - 77. Dell'errore di quelli che usano la pratica senza la scienza.

 

Cover: Antonio Canal, detto il Canaletto, Campo santi Giovanni e Paolo, 1738 ca, olio su tela, 46,4x78,1 cm, Londra, Royal Collection. Prestato da Sua Maestà Elisabetta II e visibile nella mostra “Bellotto e Canaletto. Lo stupore e la luce”, dal 25 novembre 2016  al 5 marzo 2017 alle Gallerie d’Italia, Piazza della Scala, Milano.