I numeri della natura

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L'animazione inizia presentando una serie di numeri. Si tratta di una sequenza assai famosa e nota da diversi secoli nel mondo occidentale, grazie a Leonardo da Pisa, matematico italiano del XIII secolo, detto anche Fibonacci. Essa è conosciuta quindi come Successione di Fibonacci, anche se era stata descritta molto prima dai matematici indiani.

Si tratta di una successione infinita di numeri naturali, in cui il primo valore è 0,il successivo è 1 e, in seguito, ogni numero si ottiene sommando i due precedenti.

I numeri di questa successione sono presenti in numerose applicazioni, ma una delle più conosciute è la Spirale di Fibonacci , che è sempre stata utilizzata come approssimazione della Spirale aurea (un tipo di spirale logaritmica) perché è più facile da rappresentare utilizzando un semplice compasso da disegno.
Questa spirale viene mostrata nell'animazione successiva, in cui appare subito dopo i primi valori della successione illustrando il processo di costruzione di una di queste spirali.

Creeremo innanzitutto alcuni quadrati che corrispondono ad ogni valore della sequenza:1x1 - 1x1 - 2x2 - 3x3 - 5x5 - 8x8, ecc. i quali sono disposti come illustrato nella figura a sinistra.
Successivamente disegniamo un arco pari a un quarto di circonferenza (90 °) all'interno di ogni quadratino; guardando il grafico a destra possiamo facilmente vedere come si costruisce passo dopo passo la Spirale di Fibonacci .
Ho introdotto una piccola correzione ottica nell'animazione al fine di ottenere una curva più simile a una vera Spirale aurea (più armonica ed equilibrata), come spiegato in questa tavola. E' un po' come quando si cerca di approssimare un'ellisse disegnando un ovale con segmenti circolari: il risultato non è esattamente una vera ellisse. E si vede.

NOTA IMPORTANTE: osservando l'animazione si ha l'impressione che la Spirale di Fibonacci (o la Spirale aurea, non importa) sia all'origine della forma di un Nautilus, ma questo non è assolutamente corretto.
E' curioso, perché se si esegue la seguente ricerca in Google Immagini: “spirale+ nautilus” si vedrà come moltissime immagini suggeriscano come questa conchiglia sia davvero costruita in base al sistema descritto precedentemente.
Ma questo non è corretto, come descritto in questa altra pagina.

La verità è che mi sono accorto di questo quando avevo completamente finito la sceneggiatura di questo progetto ed ero troppo pigro per cambiare. Quindi devo confessare che con questa animazione ho barato un po'. Oppure, spiegando la cosa in un modo più "gentile", si potrebbe dire che mi sono preso una licenza artistica ;-)

Una volta apparso il Nautilus procediamo con la seconda parte dell'animazione. Essa introduce il concetto di Sezione aurea attraverso la costruzione di un Rettangolo aureo. Per ottenerlo, partiamo da un semplice quadrato e utilizziamo un metodo classico che richiede soltanto una riga e un compasso. Il processo completo può essere osservato nella seguente serie di illustrazioni:

Si tratta di un rettangolo molto speciale conosciuto fin dai tempi antichi. Soddisfa il seguente rapporto, noto anche come Sezione aurea o Divina Proporzione: il rapporto tra la somma delle dimensioni (a+b) e la dimensione maggiore (a) è uguale al rapporto tra la dimensione maggiore (a) e quella minore (b).

Il risultato di questo rapporto (cioè la divisione di a per b) è un numero irrazionale chiamato Phi da non confondere con — Pi— - e il suo valore si approssima a 1,61803399…
Inizialmente non era concepito come una vera e propria "unità di misura", ma come una semplice relazione di proporzionalità tra due segmenti. Un numero che ritroviamo in molte opere create dall'uomo nell'arte e nell'architettura, dalla civiltà assiro babilonese sino ai giorni nostri, passando per la Grecia antica o il rinascimento.

SOLO UNA CURIOSITÀ: nell'animazione non è evidente, ma esiste una profonda connessione tra la Successione di Fibonacci e la Sezione aurea.
Ne avete un esempio a destra (ne vedremo poi un altro): se dividiamo ogni numero della Successione di Fibonacci per il numero precedente, il risultato tende a Phi. Tanto più alto è il numero, quanto maggiore è l'approssimazione (considerate che Phi, come tutti i numeri irrazionali, ha un numero infinito di decimali).

Facciamo un passo avanti con l'animazione, introducendo un nuovo concetto, forse meno noto ma altrettanto importante, l'Angolo aureo. Cioè, il rapporto proporzionale angolare tra due segmenti circolari:

Anche questi due segmenti circolari sono ottenuti con la stessa proporzionalità aurea, ma in questo caso il valore dell'angolo formato dal minore dei due è un altro numero irrazionale, che possiamo semplificare e arrotondare al valore 137,5 º
E questo valore è profondamente presente in natura. Questo è il prossimo concetto che vediamo nell'animazione: come configurare la struttura formata dai semi di girasole.
Osservate le figure che seguono:

  • Aggiungiamo un primo seme rosso.
  • Ruotiamo di 137,5º
  • Aggiungiamo un secondo seme di colore verde e torniamo al centro.
  • Ruotiamo di altri 137,5º
  • Aggiungiamo un terzo seme ocra e torniamo al centro, proprio accanto al primo seme.
  • Ruotiamo di altri 137,5º…

... E così via, seme dopo seme, otterremo a poco a poco una sorta di distribuzioni come quelle illustrate nelle seguenti figure.

In questo modo si arriva alla caratteristica struttura del girasole, in cui tutti i semi sono disposti nel modo più compatto possibile. L'abbiamo sempre detto: la natura è saggia :-)
UN'ALTRA CURIOSITÀ: Vi ricordate che avevamo osservato che c'era una profonda connessione tra la Successione di Fibonacci e la Sezione aurea? Bene, adesso abbiamo un altro punto di incontro tra questi due concetti. Osservate le immagini di questo girasole:

Osservando attentamente la configurazione dei semi vedrete apparire una sorta di pattern a spirale. Nella figura in alto a sinistra abbiamo evidenziato tre tipologie di spirali che si possono trovare su quasi tutti i girasole.
Bene, se si osserva una delle tipologie, ad esempio quella in verde, e si passa all'illustrazione in alto a destra è possibile verificare che le spirali di questo tipo sono presenti in un determinato numero, più precisamente 55 spirali. Guarda caso un numero che si trova all'interno della Successione di Fibonacci ;-)

E ci sono altri esempi simili nelle due tavole superiori, in azzurro e arancione, anche in questo caso disposti secondo valori che si trovano all'interno della successione: 34 e 21 spirali.
In linea di principio, tutti i girasoli del mondo presentano un numero di spirali che si trova all'interno della Successione di Fibonacci . Potete andare in campagna e cercare una piantagione se volete esserne sicuri :-)
Potete anche utilizzare questa immagine di un girasole reale o andare su questo sito dove viene spiegato questo fenomeno, insieme ad altre curiosità.
A proposito, vi consiglio di visitare il sito di Ron Knott , un matematico dell'Università del Surrey in Inghilterra. Il suo sito è pieno di informazioni preziose ed istruttive, tutte spiegate molto bene e con aspetti curiosi e divertenti in abbondanza.

Siamo finalmente alla terza fase dell'animazione in cui ci confrontiamo con un concetto che è un po' meno conosciuto rispetto agli altri: la Tassellatura di Voronoi, detta anche Tassellatura di Dirichlet.
Ho scoperto questo fenomeno grazie al sito personale di Hector Garcia, che visito quasi quotidianamente (e pur essendo un blog dedicato alla cultura giapponese e tutto ciò che è legato a quel paese, di tanto in tanto ci allieta con altri interessanti argomenti , come questo su Delaunay e Voronoi).
Queste formazioni geometriche si basano su un modello di distribuzione che è facilmente riconoscibile in molte strutture naturali, come le ali di alcuni insetti o le piccole ramificazioni capillari sulle foglie di alcune piante.
È anche ampiamente utilizzato per ottimizzare i sistemi di distribuzione sulla base di aree di influenza, per esempio nelle decisioni relative a dove installare le antenne telefoniche, o dove costruire i vari punti vendita di una catena di pizzerie.
Permettetemi di mostrarvi un modo molto intuitivo per capire come si forma una tassellatura di Voronoi:

Immaginate di avere due punti: uno rosso e l'altro blu (in alto a sinistra). Iniziate disegnando un segmento che unisce questi punti e poi una seconda linea ortogonale proprio nel mezzo. Abbiamo appena trovato la bisettrice del segmento che congiunge questi due punti.
In alto a destra abbiamo aggiunto un terzo punto verde, generando due nuove bisettrici che si intersecano con la prima.
Se continuiamo ad aggiungere punti generando ulteriori bisettrici, con le loro intersezioni, arriveremo ad una serie di —Tessere di Voronoi—intorno ad una serie di "punti di controllo". Così, il perimetro di ciascuna di queste tessere è equidistante dai punti vicini e delimita la loro area di influenza.
Tutti questi segmenti che connettono i punti formano una struttura triangolare detta Triangolazione di Delaunay . Nella figura qui sotto potete osservare il processo, man mano che si aggiungono i punti:

Su internet si possono trovare siti interattivi (come questo) in cui si possono disegnare punti, spostarli, e verificare come la struttura si modifica in tempo reale.
Infatti, se abbiamo una serie di punti sparsi a caso nel piano, il modo migliore per trovare correttamente la Tassellatura di Voronoi per questo dato insieme è di utilizzare la triangolazione di Delaunay. E in effetti, è proprio questo il concetto illustrato dall'animazione: prima la Triangolazione di Delaunay e poi, successivamente, la Tassellatura di Voronoi .
Tuttavia, per poter disegnare correttamente una Triangolazione di Delaunay è necessario soddisfare le cosiddette “Condizioni di Delaunay ”. Questo significa che: una rete di triangoli può essere considerata una triangolazione di Delaunay se tutte le circonferenze circoscritte di tutti i triangoli della rete sono "vuote".
Si noti che in realtà, dato un certo numero di punti nel piano, non c'è un unico modo di disegnare i triangoli, ce ne sono molti. Ma solo una triangolazione possibile soddisfa questa condizione. È molto semplice: disegniamo un triangolo utilizzando 3 punti solo se la circonferenza circoscritta creata con questi 3 punti è "vuota" (non contiene alcun altro punto).
Lo si può vedere nel grafico che segue, tratto da Wikipedia:

Ruotando di 90 gradi ogni lato del triangolo rispetto al punto medio dopo aver definito la Triangolazione di Delaunay (in alto a sinistra), si può costruire la Tassellatura di Voronoi (in alto a destra). Questo è esattamente quello che mostra l'animazione, prima che l'obiettivo si ritragga per per mostrarci la struttura dell'ala di libellula.
Potremmo anche utilizzare i centri di ogni circonferenza, segnati in rosso, in quanto questi corrispondono ai vertici delle Tessere di Voronoi .

Naturalmente, sono abbastanza sicuro di una cosa: se prendiamo una vera libellula, e analizziamo le ali con l'aiuto di una lente di ingrandimento o di un microscopio (esempio), troveremo eccezioni e scostamenti. Ma la somiglianza tra le due strutture è evidente.

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